✎ Simplification de fractions

Définition
Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont un seul diviseur commun qui est \(1\).

Remarque
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont "dans une même table de multiplication", alors cette fraction n'est pas irréductible. 

Propriété
Pour tous nombres \(a\), \(b\) et \(k\) entiers relatifs tels que \(b \ne 0\) et \(k \ne 0\), on a :

\(\qquad \dfrac{a \color{red}{\times k}}{b \color{red}{\times k}}=\dfrac{a}{b} \qquad\)et\(\qquad \dfrac{a \color{red}{\div k}}{b \color{red}{\div k}}=\dfrac{a}{b} \qquad\)

Remarque
Pour simplifier une fraction, il ne faut pas hésiter à décomposer son numérateur et son dénominateur sous la forme de produits, comme dans les exemples ci-dessous.

Exemples
  \(\qquad\dfrac{20}{15}=\dfrac{\color{red}5\times4}{\color{red}5\times3}=\dfrac{4}{3}\)  On simplifie par \(\color{red}5\).
Les nombres \(3\) et \(4\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\). Donc la fraction \(\dfrac{4}{3}\) est irréductible.

\(\qquad \dfrac{-81}{54}=-\dfrac{9 \times \color{red} 9}{6 \times \color{red}9}=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3 \times \color{blue} 3}{2 \times \color{blue}3}=-\dfrac{3}{2}\) .
Ici, deux simplifications successives sont effectuées.
On peut aussi procéder, en une seule étape, de la manière suivante.
\(\dfrac{-81}{54}= -\dfrac{\color{red}{27}\times3}{\color{red}{27}\times2}=-\dfrac{3}{2}\) .
Une seule simplification par \(\color{red}{27}\) est effectuée.
La fraction \(-\dfrac{3}{2}\) est irréductible puisque les nombres \(3\) et \(2\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\).